Análisis Funcional
Licenciatura en Matemática
Segundo semestre del 2003

Información general

Código 8903
Requisitos Teoría de la medida, Topología, Funciones Analíticas.
Horas de teoría 4
Horas de práctica 2
Créditos 6
Profesor Ramón Bruzual (teoría y práctica).
Evaluación: Se harán cuatro (4) exámenes parciales y la práctica se evaluará en forma continua, tomando en cuenta las intervenciones y la asistencia a las clases de práctica.
La nota definitiva se obtendrá sumando el 95% del promedio de las notas de los cuatro parciales con el 5% de la nota de práctica.

Calendario Semestre 2-2003

Inicio de Clases: 20-10-2003.
Asueto de Navidad: 19-12-2003 al 09-01-2004.
Reinicio de Clases: 12-01-2004.
Fin de Clases: 27-02-2004.
Exámenes Finales: 01-03-2004 al 05-03-2004.
Reparaciones: 08-03 al 12-03-2004.
Inicio del semestre 1-2004: 29-03-2004.

Calendario aprobado por el Consejo de Facultad el 14-07-2003.

Fecha de los exámenes

Primer examen parcial: Jueves 13 de Noviembre de 2003.
Segundo examen parcial: Jueves 11 de Diciembre de 2003.
Tercer examen parcial: Jueves 29 de Enero de 2003.
Cuarto examen parcial: Jueves 26 de Febrero de 2004.

Programa

Tema 1

Nociones generales sobre espacios normados y de Banach. Definción de espacio normado. Propiedades de la norma. Definición de espacio de Banach. Ejemplos: l_pⁿ = (Rⁿ,|| ||_p), l_p, L_p, C(a,b), c, c_o, etc.

Construcción de espacios normados: espacios módulo subespacios, espacios producto de espacios normados

Tema 2

Aplicaciones lineales entre espacios normados. Condiciones equivalentes de continuidad. El espacio L(X,Y) de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y. Norma en L(X,Y). Condición para que L(X,Y) sea un espacio de Banach. Homeomorfismos entre espacios normados. Equivalencia de normas en espacios normados. Caracterización de espacios normados de dimensión finita. El teorema de F. Riesz sobre la compacidad de la bola cerrada en un espacio normado de dimensión finita.

Tema 3

El espacio dual topológico de un espacio normado. El teorema de Hahn-Banach. Aplicaciones del teorema de Hahn-Banach. Ejemplos de duales de algunos espacios normados. Teorema de Riez para los espacios l_p , L_p. Dual de c y dual de c_o .

Tema 4

Bases de Schauder. Aplicaciones y ejemplos. Caracterización de espacios de Banach por la convergencia absoluta de series.

Tema 5

El teorema de categoría de Baire. Aplicaciones. El principio de acotación uniforme y el teorema de Banach-Steinhaus.

Teorema de la aplicación abierta. Aplicaciones.

Teorema del gráfico cerrado. Aplicaciones.

Tema 6

Convergencia débil en espacios normados. La convergencia débil *. El teorema de Tijonov sobre producto de espacios compactos. El teorema de Bourbaki-Alaoglu.

Tema 7

Espacios de funciones continuas. El teorema de Dini sobre la convergencia uniforme. Definición de álgebra. Subálgebra. El teorema de Stone-Weierstrass en sus versiones reales y complejas.

Condiciones equivalentes de compacidad en un espacio métrico. Equicontinuidad. El teorema de Arzela-Ascoli. Aplicaciones.

Tema 8

Espacios de Hilbert.

Formas hermíticas y formas cuadráticas sobre espacios vectoriales. Formas positivas. El teorema de Cauchy-Schwarz. Producto interno. Norma definida por un producto interno. Ortogonalidad en un espacio de Hilbert. Distancia mínima. El teorema de representación de Riesz. Conjuntos ortogonales. El teorema de Gram-Schmidt. Representación mediante series de los elementos de un espacio de Hilbert con respecto a conjuntos ortonormales. Desigualdad de Bessel e identidad de Parseval.

Operadores acotados en espacios de Hilbert. Operador adjunto de un operador acotado. Propiedades. El espacio L(X) de las funcionales lineales y continuas del espacio de Hilbert X. La topología uniforme, la fuerte y la débil. Comparación entre estas topologías. Estudio de algunos tipos de operadores: hermíticos, normales, unitarios, etc...

Bibliografía