Información general
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- Código: 8903
- Requisitos: Teoría de la medida, Topología.
- Recomendación: Haber aprobado Funciones Analíticas.
- Horas de teoría: 4
- Horas de práctica: 2
- Créditos: 6
- Profesor: Ramón Bruzual (teoría y práctica).
- Evaluación : Se harán cuatro (4) exámenes parciales y la
práctica se evaluará en forma continua, tomando en cuenta las
intervenciones, exámenes cortos y la asistencia a las clases de práctica.
La nota
definitiva se obtendrá sumando el 95% del promedio de las notas de los
cuatro parciales con el 5% de la nota de práctica.
- Horario: Lunes 11-1, aula 2; Martes 9-11, aula 17; Jueves 9-11,
aula 25.
Calendario Primer Semestre del 2004
- Inicio de Clases: Lunes 12 de Abril de 2004.
- Fin de Clases: Viernes 30 de Julio de 2004.
- Exámenes Finales: Lunes 02 al Viernes 06 de Agosto de 2004.
- Reparaciones: Lunes 09 al Viernes 13 de Agosto de 2004.
- Vacaciones: Del Lunes 16 de Agosto al Viernes 24 de Septiembre de 2004.
- Inicio del semestre 2-2004: Lunes 27 de Septiembre de 2004.
- Inicio de Clases (2-2004): Lunes 11 de Octubre de 2004.
Material de apoyo
Una guía de Espacios de Banach y una guía de Espacios de Hilbert, elaboradas por los
profesores R. Bruzual y M. Domínguez, disponibles en las siguientes direcciones:
http://euler.ciens.ucv.ve/
~labfg/
http://mywebpage.netscape.com/labforgrupos/
Fecha de los exámenes
- Primer examen parcial: Jueves 6 de Mayo de 2004.
- Segundo examen parcial: Jueves 3 de Junio de 2004.
- Tercer examen parcial: Jueves 1 de Julio de 2004.
- Cuarto examen parcial: Jueves 29 de Julio de 2004.
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Programa
- Tema 1
- Nociones generales sobre espacios normados y de Banach. Definción de espacio normado.
Propiedades de la norma. Definición de espacio de Banach. Ejemplos: lpn
= (Rn,|| ||p), lp, Lp, C(a,b), c, co, etc.
- Construcción de espacios normados: espacios módulo subespacios, espacios producto de
espacios normados
- Tema 2
-
Aplicaciones lineales entre espacios normados. Condiciones equivalentes de continuidad. El
espacio L(X,Y) de las aplicaciones lineales y continuas de X en Y. Norma en L(X,Y).
Condición para que L(X,Y) sea un espacio de Banach. Homeomorfismos entre espacios
normados. Equivalencia de normas en espacios normados. Caracterización de espacios normados
de dimensión finita. El teorema de F. Riesz sobre la compacidad de la bola cerrada en un
espacio normado de dimensión finita.
- Tema 3
-
El espacio dual topológico de un espacio normado. El teorema de Hahn-Banach. Aplicaciones
del teorema de Hahn-Banach. Ejemplos de duales de algunos espacios normados. Teorema de Riez
para los espacios lp , Lp. Dual de c y dual de co .
- Tema 4
-
Bases de Schauder. Aplicaciones y ejemplos. Caracterización de espacios de Banach
por la convergencia absoluta de series.
- Tema 5
- El teorema de categoría de Baire. Aplicaciones. El principio de acotación uniforme y el
teorema de Banach-Steinhaus.
Teorema de la aplicación abierta. Aplicaciones.
- Teorema del gráfico cerrado. Aplicaciones.
- Tema 6
-
Convergencia débil en espacios normados. La convergencia débil *. El teorema de Tijonov
sobre producto de espacios compactos. El teorema de Bourbaki-Alaoglu.
- Tema 7
- Espacios de funciones continuas. El teorema de Dini sobre la convergencia uniforme.
Definición de álgebra. Subálgebra. El teorema de Stone-Weierstrass en sus versiones
reales y complejas.
Condiciones equivalentes de compacidad en un espacio métrico. Equicontinuidad. El teorema de
Arzela-Ascoli. Aplicaciones.
- Tema 8
- Espacios de Hilbert.
- Formas hermíticas y formas cuadráticas sobre espacios vectoriales. Formas positivas. El
teorema de Cauchy-Schwarz.
Producto interno. Norma definida por un producto interno. Ortogonalidad en un espacio de Hilbert. Distancia mínima. El teorema de representación
de Riesz. Conjuntos ortogonales. El teorema de Gram-Schmidt. Representación mediante series
de los elementos de un espacio de Hilbert con respecto a conjuntos ortonormales. Desigualdad
de Bessel e identidad de Parseval.
- Operadores acotados en espacios de Hilbert. Operador adjunto de un operador acotado.
Propiedades. El espacio
L(X) de las funcionales lineales y continuas del espacio de Hilbert
X. La topología uniforme, la fuerte y la débil. Comparación entre estas
topologías. Estudio de algunos tipos de operadores: hermíticos, normales, unitarios,
etc...
Bibliografía
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- BACHMAN, G. Y NARICI, L. Functional Analysis.
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- BROWN Y PAGE. Elements of functional Analysis.
-
- COTLAR, M. Y CIGNOLI, R. An introduction to Functional Analysis.
-
- HALMOS, P.R. Teoría Intuitiva de los Conjuntos.
-
- KOLMOGOROV, A. Y FOMIN, S. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional.
-
- KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with applications.
-
- ROYDEN, H. L. Real Analysis.
-
- TRENOGUIN, V.A. Problemas y ejercicios de Análisis Funcional.
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