Análisis
Funcional
Licenciatura en Matemática
Segundo semestre del 2006
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Información general
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Código:
8903
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Requisitos:
T. Medida y Topología
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Créditos: 6
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Requisito sugerido:F.
Analíticas
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Horas de teoría: 4
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Horas de práctica:
2
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Profesor: Ramón Bruzual (teoría y
práctica).
Correo-E: ramon.bruzual@ciens.ucv.ve, ramonbruzual@hotmail.com
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HORARIO |
| Lunes |
11 a 1 |
Aula 33 |
| Martes |
7 a 9 |
Aula 16 |
| Jueves |
9 a 11 |
Aula 4 |
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Evaluación
Se harán cuatro (4) exámenes parciales y
la práctica se evaluará en forma continua, tomando en cuenta las
intervenciones y la asistencia a las clases de práctica.
La nota definitiva se obtendrá sumando el
95% del promedio de las notas de los cuatro parciales con el 5% de la nota de
práctica.
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Calendario Semestre 2-2006
- Inicio de Clases: 09 de octubre de 2006.
- Semana de 30 Aniversario del Postgrado: 23 al 27 de
octubre de 2006.
- Vacaciones de Navidad: 16 de diciembre del 2006 al 07 de enero de 2007.
- Duración del Semestre: 16 Semanas.
- Fin de Clases: 16 de febrero de 2007.
- Carnaval: 19 y 20 de febrero de 2007.
- Exámenes Finales: 21 al 27 de febrero de 2007.
- Reparaciones: 28 de febrero de 2007 al 06 de marzo de 2007.
- Inicio del semestre 1-2007: 26 de marzo de 2006 .
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Material de
apoyo
Una guía de Espacios de Banach y una guía de Espacios de Hilbert, elaboradas por los
profesores R. Bruzual y M. Domínguez, disponible en las siguientes direcciones:
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg/
http://espanol.geocities.com/labforgru/
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Fecha de los exámenes
- Primer examen parcial: Jueves 09 de noviembre de 2006.
- Segundo examen parcial: Jueves 07 de diciembre de 2006.
- Tercer examen parcial: Jueves 25 de enero de 2007.
- Cuarto examen parcial: Jueves 15 de febrero de 2007 o fecha de Control de Estudios.
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Programa
- Tema 1:
- Nociones generales sobre espacios normados y de
Banach. Definción de espacio normado. Propiedades de la norma. Definición de
espacio de Banach. Ejemplos: lpn = (Rn
,|| ||p), lp, Lp, C(a,b), c, co,
etc.
- Construcción de espacios normados: espacios módulo
subespacios, espacios producto de espacios normados
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- Tema 2:
- Aplicaciones lineales entre espacios normados.
Condiciones equivalentes de continuidad. El espacio L(X,Y) de las
aplicaciones lineales y continuas de X en Y. Norma en L(X,Y). Condición para
que L(X,Y) sea un espacio de Banach. Homeomorfismos entre espacios normados.
Equivalencia de normas en espacios normados. Caracterización de espacios
normados de dimensión finita. El teorema de F. Riesz sobre la compacidad de
la bola cerrada en un espacio normado de dimensión finita.
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- Tema 3:
- El espacio dual topológico de un espacio normado. El teorema de Hahn-Banach. Aplicaciones del
teorema de Hahn-Banach. Ejemplos de duales de algunos espacios normados. Teorema de Riez para
los espacios lp , Lp. Dual de c y dual de co .
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- Tema 4:
- Bases de Schauder. Aplicaciones y ejemplos. Caracterización de espacios de Banach
por la convergencia absoluta de series.
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- Tema 5:
El
teorema de categoría de Baire. Aplicaciones. El principio de acotación uniforme y el
teorema de Banach-Steinhaus.
Teorema de la aplicación abierta. Aplicaciones.
Teorema del gráfico cerrado. Aplicaciones.-
- Tema 6:
- Convergencia débil en espacios normados. La
convergencia débil *. El teorema de Tijonov
sobre producto de espacios compactos. El teorema de Bourbaki-Alaoglu.
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- Tema 7:
Espacios de funciones continuas. El teorema de Dini sobre la convergencia uniforme.
Definición de álgebra. Subálgebra. El teorema de Stone-Weierstrass en sus versiones
reales y complejas.
Condiciones equivalentes de compacidad en un espacio métrico. Equicontinuidad. El teorema de
Arzela-Ascoli. Aplicaciones.-
- Tema 8:
Espacios
de Hilbert.
Formas hermíticas y formas cuadráticas sobre espacios vectoriales. Formas positivas. El
teorema de Cauchy-Schwarz. Producto interno. Norma definida por un producto interno.
Ortogonalidad en un espacio de Hilbert. Distancia mínima. El teorema de representación
de Riesz. Conjuntos ortogonales. El teorema de Gram-Schmidt. Representación mediante series
de los elementos de un espacio de Hilbert con respecto a conjuntos ortonormales. Desigualdad de
Bessel e identidad de Parseval.
Operadores acotados en espacios de Hilbert. Operador adjunto de un operador acotado.
Propiedades. El espacio L(X) de las funcionales lineales y continuas del espacio de Hilbert
X. La topología uniforme, la fuerte y la débil. Comparación entre estas
topologías. Estudio de algunos tipos de operadores: hermíticos, normales, unitarios,
etc.-
Bibliografía:
B ACHMAN, G.
Y NARICI, L. Functional Analysis.
BROWN Y PAGE. Elements of functional Analysis.
COTLAR, M. Y CIGNOLI, R. An introduction to Functional Analysis.
KOLMOGOROV, A. Y FOMIN, S. Elementos de la teoría de funciones y del Análisis Funcional.
KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with applications.
ROYDEN, H. L. Real Analysis.
TRENOGUIN, V.A. Problemas y ejercicios de Análisis Funcional.
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