Teoría Espectral
(Asignatura Electiva)
Postgrado en Matemática
Primer semestre del 2006

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Información general

Requisitos: Análisis Real y Análisis Funcional (pregrado) o equivalente.

Créditos:4

Horas de teoría: 4

Profesor: Ramón Bruzual .

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Se harán cuatro (4) exámenes parciales, se asignarán exposiciones orales individuales y se asignarán trabajos a entregar por escrito.

Programa

Tema 1: Algebras de Banach.
Introducción y ejemplos. El espacio de los funcionales lineales multiplicativos. La transformada de Gelfand. Espectro y fórmula del radio espectral. Teorema de Gelfand para álgebras de Banach conmutativas.

Tema 2: Operadores acotados en espacios de Hilbert y álgebras C*
El álgebra L(H) (H un espacio de Hilbert). Operadores normales y autoadjuntos. Proyecciones. Álgebras C* Teorema de Gelfand-Naimark. Teorema espectral. Cálculo funcional para operadores normales.

Tema 3: Operadores no acotados en espacios de Hilbert.
Introducción y ejemplos. Definición de adjunto. Gráfico y operadores simétricos. La transformada de Cayley. Teorema espectral para operadores autoadjuntos no acotados. Teorema de Stone.

Tema 4: Aplicaciones de la teoría de operadores al análisis armónico.
Demostración del teorema de Herglotz usando el teorema espectral. Equivalencia entre el teorema de Bochner y el teorema de Stone. Demostración del teorema de extensión de Krein.

Tema 5: (Opcional) Introducción a los espacios de métrica indefinida.
Definición de espacio de Krein y de espacio de Pontryagin. Descomposición fundamental. Topología de un espacio de Krein. Operadores en espacios de métrica indefinida.